Puzzle: 掷骰子最大化期望收益

发表于： 2025-04-20 更新于： 2025-04-20 分类于：学习

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总结摘要

这是一道关于掷骰子的数学期望问题。

题目

你可以多次掷一个六面骰子，每次得分为点数，累计为总收益；若掷出与之前相同的点数则收益归零，游戏立即结束。你可以随时停止，问最优停止时机是多少次，才能使期望收益最大？

很明显，只能掷1~6次。

先来算出现相同点数的概率，这个比较简单：

次数 $n$	无重复点数的概率 $P(n)$
1	1
2	$\frac{5}{6}$
3	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{20}{36} $
4	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{216}$
5	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{120}{1296}$
6	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6}= \frac{120}{7776}$
7	0

$n = 2$ 时，期望收益需要一点计算。来看看两个骰子的点数和的分布：

因为投到相等的点数时收益归零，所以要忽略掉主对角线的数值。也就是说总共只有 $6 \times 6 - 6 = 30$ 种情况。观察一下这个表格，是对称的。关于副对角线对称的两个元素的平均值都是7（例如6和8，5和9等等）。所以数学期望都是7。这个时候收益的数学期望为：

$$ P(2) \times 7 = \frac{5}{6} \times 7 = \frac{35}{6} \approx 5.83 $$

发现了一个关键点，就是不管是否忽略相同点数，数学期望都没变，都是单次投掷乘以次数。其实不管投多少次，即使有禁止重复的限制，数学期望都是一样的算法。可以用 $n=6$ 来验证一下，此时只有一个结果，就是 $1+2+3+4+5+6=21=3.5 \times 6$，证实了猜测。

因此后面的收益也可以直接用这个公式计算： $$ E(n) = P(n) \times 3.5 \times n + (1 - P(n)) \times 0 = P(n) \times 3.5 \times n $$

算出来结果如下：

次数 $n$	期望收益 $E(n)$
1	3.5
2	$\frac{5}{6} \times 3.5 \times 2 = \frac{5}{6} \times 7 \approx 5.83$
3	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \times 3.5 \times 3 = \frac{20}{36} \times 10.5 \approx 5.83$
4	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \times 3.5 \times 4 = \frac{60}{216} \times 14 \approx 3.88$
5	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \times 3.5 \times 5 = \frac{120}{1296} \times 17.5 \approx 1.62$
6	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} \times 3.5 \times 6 = \frac{120}{7776} \times 21 = 0.32$

因此当 $n=2$ 或 $n=3$ 时期望收益最大，为5.83。